{"id":3528,"date":"2023-12-20T14:31:06","date_gmt":"2023-12-20T14:31:06","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.zeiss.com\/digital-innovation\/de\/?p=3528"},"modified":"2024-02-07T08:41:04","modified_gmt":"2024-02-07T08:41:04","slug":"datengetriebene-prozessregelung-teil-3-regelung-von-systemverhalten","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.zeiss.com\/digital-innovation\/de\/datengetriebene-prozessregelung-teil-3-regelung-von-systemverhalten\/","title":{"rendered":"Datengetriebene Prozessregelung – Teil 3: Regelung von Systemverhalten"},"content":{"rendered":"\n\n\n

Dieser dritte und letzte Teil der Artikelserie zur datengetriebenen Prozessregelung<\/a> liefert eine Einf\u00fchrung in Ans\u00e4tze zur Regelung von Systemen. Im Mittelpunkt steht dabei das klassische „Model-Predictive-Control“ Schema, welches mit den Ergebnissen zur Systemmodellierung aus dem zweiten Artikel zu einer rein datengetriebenen Regelungsstrategie kombiniert wird.<\/p>\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n

F\u00fcr die Regelung von Systemen existieren zahlreiche theoretische wie praktische Ans\u00e4tze. Eine der einfachsten stellen sogenannte PID Regler dar, die in Anwendungen wie Motor- und Temperaturreglungen, Laderegelungen f\u00fcr Solaranlagen oder Reglern f\u00fcr Leistungselektronik zum Einsatz kommen.<\/p>\n\n\n\n

Wir wollen uns allerdings mit einer fortgeschritteneren Regelungsstrategie f\u00fcr ein breiteres Anwendungsspektrum befassen, dem „Model Predictive Control (MPC)“ (siehe [<\/a>3]<\/a> und [4]<\/a>). Wie aus der Bezeichnung zu entnehmen ist, setzt diese Strategie die F\u00e4higkeit zur Vorhersage des Systemverhaltens voraus. Eine Anforderung, die durch Modellbildung im Sinne des vorangegangenen Abschnittes aber auch durch den vorgestellten databasierten Ansatz erf\u00fcllt werden kann.<\/p>\n\n\n\n

Gegenstand der Regelungsstrategie ist die Steuerung der Ausgangszielgr\u00f6\u00dfen durch Modifikation der Eingriffsgr\u00f6\u00dfen, so dass erstere in einem durch Referenzdaten bestimmten Korridor verbleiben.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"
Abbildung 1: Das Model Predictive Control (MPC) Schema<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
<\/div>\n\n\n\n

Die MPC Strategie stellt einen iterativen Prozess dar, der aus den drei folgenden Phasen besteht (siehe auch Abbildung 1).<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Ausgangspunkt bilden historische Daten des zu regelnden Systems. Diese bestehen zum einen aus den Werten der Eingriffsparameter in zur\u00fcckliegenden Regelschritten und zum anderen aus den zugeh\u00f6rigen, vom System gelieferten Ausgabedaten. Da auch die Referenzdaten sich mit der Zeit ver\u00e4ndern k\u00f6nnen, stellen auch sie einen Teil der historischen Daten dar. Diese Datenbasis repr\u00e4sentiert also den Status quo des betrachteten Systems. Jede Vorhersage des Systemverhaltens muss sich nahtlos an diese Historie anf\u00fcgen.<\/li>\n\n\n\n
  2. Ausgehend vom bestehenden Systemzustand wird das Modell des Systems dazu verwendet, eine optimale Vorhersage von zuk\u00fcnftigen Eingriffsgr\u00f6\u00dfen und zugeh\u00f6rigen Ausgaben zu berechnen. Das entscheidende Optimierungskriterium stellt dabei die Forderung dar, dass sich die Ausgabe des Systems im betrachteten Vorhersagezeitraum bestm\u00f6glich den gew\u00fcnschten Referenzwerten ann\u00e4hert (siehe „Mathematischer Hintergrund“). Dabei gilt es zus\u00e4tzlich, die technischen Rand- und Grenzbedingungen der Eingriffsparameter zu ber\u00fccksichtigen.<\/li>\n\n\n\n
  3. Der dritte und letzte Schritt besteht in der Anwendung der berechneten Eingriffsgr\u00f6\u00dfen im System selbst. Dies entspricht einem Praxistest des zur Vorhersage verwendeten Modells. Dar\u00fcber hinaus werden die vorhergesagten Eingriffsgr\u00f6\u00dfen nicht \u00fcber den gesamten festgelegten Vorhersagehorizont angewendet sondern nur f\u00fcr einige wenige Schritte. Dies erfolgt in dem Wissen, dass vom Modell unber\u00fccksichtigte Einfl\u00fcsse das Feedback verf\u00e4lschen und damit die Genauigkeit der Vorhersagen einschr\u00e4nken. Gleichzeitig sichert das Feedback die Stabilit\u00e4t der Strategie, da die neu gewonnenen Daten in die Datenhistorie eingehen und so die aktualisierte Basis f\u00fcr die n\u00e4chste Vorhersage bilden.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Diese drei beschriebenen Phasen werden zyklisch durchlaufen. Die Frequenz dieses Prozesses h\u00e4ngt unmittelbar von den Erfordernissen des jeweiligen Anwendungsfalles ab. Insbesondere bei der Regelung von Echtzeitsystemen wie Fahr- und Flugzeugen sind hier Frequenzen von einigen 10Hz notwendig.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n

    Mathematischer Hintergrund<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    Das „Model Predictive Control“ Schema beinhaltet als zentrales Element die Vorhersage der
    zuk\u00fcnftigen Eingabeparameter \"u_f\" und Ausgabegr\u00f6\u00dfen \"y_f\", welche den Abstand zu einer Referenztrajektorie
    \"w_r = (u_r, y_r)\" im Vorhersagezeithoriziont \"T_f\" minimieren. Zus\u00e4tzlich sind historische Daten in Form einer Anfangstrajektorie \"w_\text{ini} = (u_\text{ini}, y_\text{ini})\" der L\u00e4nge \"T_\text{ini}\" gegeben, welche durch die gesuchte Trajektorie \"w_f = (u_f, y_f)\" fortzusetzen ist.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n
    \"\"
    Abbildung 2: Vorhersage im Model Predictive Control Schema <\/em><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
    <\/div>\n\n\n\n

    Da die algebraische Repr\u00e4sentation \"H_L\" des zeitbeschr\u00e4nkten Verhaltens \"B_L\" es erlaubt, f\u00fcr jedes \"w \in B_L\" einen Vektor \"g\" zu bestimmen, f\u00fcr den \"H_L \, g = w\" gilt, k\u00f6nnen wir folgendes restringierte Optimierungsproblem f\u00fcr \"w_f\" aufstellen<\/p>\n\n\n\n

      <\/span>   <\/span>\"\[\begin{aligned} &\underset{g}{\text{minimize}} \quad \| H_{T_f} \ g - w_r \|^2_2 & \\[1.0em] &\text{subject to} \quad H_{T_\text{ini}} \ g = w_\text{ini}, & \end{aligned}\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

    unter Verwendung der Zerlegung<\/p>\n\n\n\n

      <\/span>   <\/span>\"\[H_L \, g = w \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{bmatrix} H_{T_\text{ini}} \\[0.5em] H_{T_f} \end{bmatrix} \, g= \begin{bmatrix} w_\text{ini} \\[0.5em] w_f \end{bmatrix}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

    Die Nebenbedingung sichert dabei die Einhaltung der Anfangsbedingung und die Verwendung von \"H_{T_f} \ g\" im Minimierungfunktional erzwingt, dass die ermittelte zuk\u00fcnftige Trajektorie \"w_f = H_{T_f} \ g\" zul\u00e4ssig ist f\u00fcr das System \"S\". Zus\u00e4tzlich k\u00f6nnen Nebenbedingungen an \"w_f\" formuliert werden, was aus Gr\u00fcnden der \u00dcbersichtlichkeit hier nicht erfolgte. Weitere Details sind in [2]<\/a> und [7]<\/a> ausgef\u00fchrt.<\/p>\n\n\n\n

    Die Robustheit dieses Schemas gegen\u00fcber St\u00f6rungen in Form nicht modellierten Systemverhaltens kann mathematisch nachgewiesen werden. Insbesondere ist gesichert, dass das im Schritt 2 gestellte Optimierungsproblem in jedem folgenden Zyklus l\u00f6sbar bleibt, sofern es im ersten l\u00f6sbar war. Damit ist die unbeschr\u00e4nkte Ausf\u00fchrbarkeit des Verfahrens gesichert (siehe [5]<\/a> und [6]<\/a>).<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n

    Zusammenfassung<\/h2>\n\n\n\n

    Die Regelung von physikalischen Systemen erfordert a-priori Wissen, welches durch Systemmodelle
    in die Regelungsaufgabe eingef\u00fchrt wird. Die \u00fcblichen Ans\u00e4tze zur Modellbildung sto\u00dfen dabei auf
    prinzipielle Grenzen mit wachsender Komplexit\u00e4t des Systems. Sie liefern allerdings w\u00e4hrend ihrer Erstellung
    wesentliche theoretische Einblicke in die Struktur des Systems und ben\u00f6tigen nur wenig experimentelles Vorwissen.<\/p>\n\n\n\n

    Der vorgestellte datenbasierte Ansatz hingegen generiert eine Systemrepr\u00e4sentation aus einer einzigen
    Beobachtungsreihe, zu deren Gewinnung das System einer spezifischen Anregung ausgesetzt wird.
    Die Vollst\u00e4ndigkeit der erzeugten Systemrepr\u00e4sentation kann anhand der bereits gewonnenen Daten
    gepr\u00fcft werden, was eine f\u00fcr ein Lernverfahren bemerkenswerte Eigenschaft darstellt.
    Durch dieses Vorgehen unterliegt das Verfahren keinerlei prinzipiellen Einschr\u00e4nkungen hinsichtlich der Systemkomplexit\u00e4t, ben\u00f6tigt stattdessen aber spezielle empirische Daten zur Systembeschreibung.<\/p>\n\n\n\n

    Obwohl der neue Ansatz kein Modell im eigentlichen Sinne liefert, ist es mit der von ihm erzeugten
    Systemrepr\u00e4sentation m\u00f6glich, spezifische Vorhersagen zum Systemverhalten zu treffen. Dabei wird nicht nur die Konvergenz gegen einen gew\u00fcnschten Zielzustand realisiert, sondern werden gleichzeitig eingabe- wie ausgabeseitig technische und physikalische Restriktionen umsetzt. Dies stellt einen signifikanten Vorteil gegen\u00fcber anderen Lernverfahren dar und erm\u00f6glicht sicherheitskritische Anwendungen im Zusammenspiel mit etablierten Regelungsstrategien wie dem „Model Predictive Control“.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n

    Ausblick<\/h2>\n\n\n\n

    Die Darstellung des neuen datenbasierten Ansatzes hat die Behandlung zweier wesentlicher Probleme ausgespart.<\/p>\n\n\n\n

    Der erste Aspekt betrifft die Anwendung auf nichtlineare Systeme. Den theoretischen Voraussetzungen nach ist der datenbasierte Ansatz auf lineare zeitinvariante Systeme beschr\u00e4nkt. Einerseits gibt es in j\u00fcngster Zeit Versuche wie in [1]<\/a> oder [4]<\/a>, diese Einschr\u00e4nkung aufzuheben. Andererseits sind die Gr\u00fcnde f\u00fcr die beobachtete erfolgreiche Regelung nichtlinearer Systeme durch das datenbasierte Vorgehen bisher noch nicht verstanden und daher Gegenstand aktueller Forschung, siehe [2]<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

    Der zweite Aspekt bezieht sich auf die Verwendung verrauschter Beobachtungsdaten bei der Rekonstruktion des Systemverhaltens. Auch hier sind bereits wesentliche Fortschritte zur Stabilisierung datenbasierter Ans\u00e4tze erzielt worden, siehe [2]<\/a>. Allerdings zeigen sich andere Ans\u00e4tze zur Systemidentifikation noch als deutlich unempfindlicher gegen\u00fcber Rauscheinfl\u00fcssen.<\/p>\n\n\n\n

    Insgesamt zeichnet sich das Bild ab, dass aktuelle datenbasierte Verfahren robust gegen\u00fcber Bias-Datenfehlern sind, also Daten aus nicht linearen Systemen, und anf\u00e4lliger hinsichtlich Varianz-Datenfehlern, also Datenrauschen.<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n\n

    Literatur<\/h2>\n\n\n\n

    [1] Ezzat Elokda, Jeremy Coulson, Paul N. Beuchat, John Lygeros, and Florian D\u00f6rfler, „Data-enabled predictive control for quadcopters“, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2021<\/p>\n\n\n\n

    [2] Florian D\u00f6rfler, Jeremy Coulson, and Ivan Markovsky, „Bridging direct and indirect data-driven control formulations via regularizations and relaxations“, IEEE Transactions on Automatic Control, 2022<\/p>\n\n\n\n

    [3] James B. Rawlings, David Q. Mayne, and Moritz M. Diehl, „Model predictive control – theory, computation, and design“, Nob Hill Publishing, 2022<\/p>\n\n\n\n

    [4] Julian Berberich, Johannes K\u00f6hler, Matthias A. M\u00fcller, and Frank Allg\u00f6wer, „Data-driven model predictive control – closed-loop guarantees and experimental results“, at-Automatisierungstechnik, 2021<\/p>\n\n\n\n

    [5] Joscha Bongard, Julian Berberich, Johannes Kohler, and Frank Allgower, „Robust stability analysis of a simple data-driven model predictive control approach“, IEEE Transactions on Automatic Control, 2022<\/p>\n\n\n\n

    [6] Julian Berberich, Johannes K\u00f6hler, Matthias A. M\u00fcller, and Frank Allg\u00f6wer, „Stability in data-driven MPC – an inherent robustness perspective“, IEEE Conference on Decision and Control, 2022<\/p>\n\n\n\n

    [7] Ivan Markovsky and Florian D\u00f6rfler, „Behavioral systems theory in data-driven analysis, signal processing, andcontrol“, Annual Reviews in Control, 2021<\/p>\n\n\n\n

    <\/div>\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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