{"id":3479,"date":"2023-12-05T13:51:48","date_gmt":"2023-12-05T13:51:48","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.zeiss.com\/digital-innovation\/de\/?p=3479"},"modified":"2024-02-07T10:14:59","modified_gmt":"2024-02-07T10:14:59","slug":"datengetriebene-prozessregelung-teil-2-modellierung-von-systemverhalten","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.zeiss.com\/digital-innovation\/de\/datengetriebene-prozessregelung-teil-2-modellierung-von-systemverhalten\/","title":{"rendered":"Datengetriebene Prozessregelung – Teil 2: Modellierung von Systemverhalten"},"content":{"rendered":"\n\n\n

Nachdem der erste Artikel der Serie<\/a> sich mit den allgemeinen Grundbausteinen von Regelungssystemen besch\u00e4ftigt hat, widmet sich der zweite Artikel der Modellierung des Verhaltens von Systemen. Dabei steht die Differenzierung verschiedener Modellierungsarten im Vordergrund. Den Hauptteil des Artikels bildet die Einf\u00fchrung eines speziellen datengetriebenen Ansatzes, der in j\u00fcngster Zeit wachsendes wissenschaftliches Interesse auf sich gezogen hat.<\/p>\n\n\n\n

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Die Kenntnis des Systemverhaltens, d. h. das Wissen um die quantitative Ver\u00e4nderung der Ausgaben bei Ver\u00e4nderung der Eingaben des Systems, ist eine Grundvoraussetzung f\u00fcr die Systemregelung. Dieses Wissen wird durch Verhaltensmodelle repr\u00e4sentiert, deren Entwicklung wir in diesem Artikel n\u00e4her untersuchen wollen.<\/p>\n\n\n\n

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Ein physikalisches Bespielsystem<\/h2>\n\n\n\n

Als einfaches physikalisches Beispiel betrachten wir ein sogenanntes ideales ebenes Pendel. Die Pendelmasse wird als punktf\u00f6rmig und an einem masselosen Seil aufgeh\u00e4ngt angenommen, alle Reibungskr\u00e4fte bleiben unber\u00fccksichtigt. Die einzige auf die Masse wirkende Kraft ist die Gravitationskraft der Erde (siehe Abbildung 3).<\/p>\n\n\n

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Abbildung 3: Das ideale Pendel<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n
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An diesem Beispiel werden wir drei grundlegende Modellierungsarten beschreiben.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

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Whitebox Modellierung<\/h2>\n\n\n\n

Bei dieser Art der Modellierung wird das Systemverhalten durch Differentialgleichungen repr\u00e4sentiert, deren Parameter vollst\u00e4ndig bekannt sind. Der Ansatz ist hochgradig anwendungsfallspezifisch und erfordert ein hohes Ma\u00df an Detailwissen zum betrachteten System. Die Komplexit\u00e4t realer Systeme setzt der Anwendung dieses Ansatzes nat\u00fcrlicherweise Grenzen. Zus\u00e4tzlich ist die Herangehensweise schwer automatisierbar und die erhaltenen Modelle sind nur mit gro\u00dfem Aufwand an ver\u00e4nderte Anforderungen anpassbar.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Beispiel – Whitebox Modellierung des Pendelsystems<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ausgangspunkt bilden das zweite Newtonsche Gesetz \"F = m \, a\" sowie das Gravitationsgesetz Newtons spezialisiert f\u00fcr K\u00f6rper nahe der Erdoberfl\u00e4che \"F = m \, g \, [\, 0, -1 \,]^T\".<\/p>\n\n\n\n

F\u00fcr die Bewegung des Pendels ist lediglich die tangential an die Pendelmasse angreifende Kraft \"F_T\" zu betrachten, da die radiale Komponente durch das Seil kompensiert wird. Aus dem gleichen Grund ist lediglich die Tangentialbeschleunigung \"a_T\" relevant. Unter Verwendung des zeitabh\u00e4ngigen Ablenkungswinkels \"\theta(t)\" und der Winkelbeschleunigung \"\ddot{\theta}(t)\" (siehe Abbildung 3) sind die Gr\u00f6\u00dfen \"F_T\" und \"a_T\" gegeben als<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_T = -m \ g \sin \theta(t) \quad \text{und} \quad a_T(t) = l \, \ddot{\theta}(t)\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

mit der L\u00e4nge \"l\" des Pendelseils und \"g \approx 9.81 \frac{m}{s^2}\" als der Fallbeschleunigung auf der Erde. Damit ergibt sich aus \"m \ a_T = F_T\" folgende Differentialgleichung f\u00fcr den Ablenkungswinkel \"\theta\":<\/p>\n\n\n\n

\"\ddot{\theta} (t) = - \frac{g}{l} \ \sin \theta(t)\"<\/p>\n\n\n\n

Wenn wir zus\u00e4tzlich den Winkel \"\theta\" als klein annehmen, erhalten wir als weitere Vereinfachung<\/p>\n\n\n\n

\"\ddot{\theta} (t) = - \frac{g}{l} \ \theta(t)\"<\/p>\n\n\n\n

Diese Differentialgleichung kann dazu verwendet werden, das Verhalten des Pendels f\u00fcr jeden Anfangswinkel \"\theta_0 \ll 1\" und jede Anfangsgeschwindigkeit \"\dot{\theta}_0\" vorherzusagen.<\/p>\n\n\n\n

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Grey- and Blackbox Modellierung<\/h2>\n\n\n\n

Dieser Modellierungszugang f\u00fchrt ebenfalls auf Differential- oder Differenzengleichungen, die allerdings lediglich die grundlegende Struktur des Systems vorgeben und daher freie Parameter enthalten. Flie\u00dft in das Systemmodell Vorwissen, z. B. in Form von physikalischen Prinzipien ein, so handelt es sich um ein Grey-Box Model, anderenfalls wird von einem Black-Box Model gesprochen.<\/p>\n\n\n\n

Die freien Parameter des Modells werden in einem Adaptionsschritt aus Beobachtungsdaten des Systems bestimmt, wobei dieser Schritt der Modellbildung weitgehend automatisiert werden kann. Die Auswahl der Modellstruktur hingegen erweist sich als kritisch f\u00fcr die Qualit\u00e4t des Modells, erfordert aufgrund seiner Komplexit\u00e4t ein hohes Ma\u00df an Erfahrung und kann daher nur bedingt automatisiert werden. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Grey- und Blackbox Modelling im Gegensatz zum White-Box Ansatz auf beliebig komplexe Systeme angewendet werden.<\/p>\n\n\n\n

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Daten basierte Modellierung<\/h2>\n\n\n\n

Dieser neue Ansatz zieht seit einigen Jahren zunehmend Aufmerksamkeit auf sich. Ausgangspunkt ist der Gedanke, ein System ausschlie\u00dflich mit seinem von au\u00dfen verifizierbaren Verhalten zu identifizieren. Eine ausf\u00fchrliche Darstellung des systemtheoretischen Hintergrundes f\u00fcr diesen Ansatz findet sich in [1]<\/a>. Mit der zunehmenden Verf\u00fcgbarkeit von Prozessdaten technischer Systeme wandelte sich die Sicht auf diese datengetriebene Betrachtungsweise. Es wurde erkannt, dass die Beschreibung des Systemverhaltens rein auf der Basis von Beobachtungen die T\u00fcr zu neuen Modellen und Algorithmen \u00f6ffnete (siehe [2]<\/a> und [3]<\/a>). Diese Entwicklung ist vergleichbar mit den Entwicklungen bei der Anwendung von neuronalen Netzen in den vergangenen Jahren.<\/p>\n\n\n\n

Da es sich um ein nicht-\u00fcberwachtes Lernverfahren f\u00fcr nicht-parametrische Modelle handelt, wird im Gegensatz zum White-, Grey- und Black-Box Modelling kein Modell des Systems konstruiert. Damit unterliegt die Anwendbarkeit dieser Herangehensweise weder einer komplexit\u00e4tsbedingten Einschr\u00e4nkung, noch verhindert die Notwendigkeit einer Strukturentscheidung seine Automatisierung. Allerdings ist es dem Ansatz nach zun\u00e4chst auf sogenannte lineare und zeitinvariante Systeme beschr\u00e4nkt (siehe „Mathematischer Hintergrund“).<\/p>\n\n\n\n

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Beispiel – Datenbasierte Modellierung des Pendelsystems<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Um eine datenbasierte Repr\u00e4sentation f\u00fcr das Pendelsystem zu erhalten, ben\u00f6tigen wir lediglich zwei Experimente. Unter Verwendung der Bezeichnung \"x(t) = [\, \theta(t), \dot{\theta}(t) \, ]^T\" mit dem Ablenkungswinkel \"\theta(t)\" und der Winkelgeschwindigkeit \"\dot{\theta}(t)\" k\u00f6nnen die Anfangsbedingungen f\u00fcr die beiden Experimente angesetzt werden zu<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ x_1(0) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \quad \text{und} \quad x_2(0) = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Das erste Experiment zeichnet die Bewegung \"x_1(t)\" des Pendels zum Startwinkel \"1^{\circ}\" und verschwindender Startgeschwindigkeit zu diskreten Zeitpunkten \"\{ t_i \}_{i=1}^n\" auf. Das zweite Experiment verwendet f\u00fcr die Aufzeichung von \"x_2(t)\" das dazu inverse Setting.<\/p>\n\n\n\n

Aus den Aufzeichnungen der beiden Experimente kann dann jede andere Pendelbewegung \"x(t)\" zu den Anfangsbedingungen \"x(0) = [\, \theta_0, \dot{\theta}_0 \,]^T\" mittels der Beziehung<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x(t) = \theta_0 \ x_1(t) + \dot{\theta}_0 \ x_2(t)\]\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

zu den Zeitpunkten \"\{ t_i \}_{i=1}^n\" berechnet werden, wof\u00fcr die lineare Unabh\u00e4ngigkeit der Vektoren der beiden Anfangsbedingungen die Grundlage darstellt. In kompakter Form erhalten wir weiter die Darstellung<\/p>\n\n\n\n

  <\/span>   <\/span>\"\[B \, x(0) = x \quad \text{mit} \quad B = \begin{bmatrix} x_1(t_1) & x_2(t_1) \\ \vdots & \vdots \\ x_1(t_n) & x_2(t_n) \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad x = \begin{bmatrix} x(t_1) \\ \vdots \\ x(t_n) \end{bmatrix}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Die Matrix \"B\" bezeichnen wir als algebraische Repr\u00e4sentation des Pendelverhaltens.<\/p>\n\n\n\n

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Die Zielstellung, das vollst\u00e4ndige Systemverhalten allein aus Beobachtungsdaten zu rekonstruieren, wirft drei wesentliche Fragen auf:<\/p>\n\n\n\n